Differential Equations   Math 285  Hour Exam 3    Fall, 2011

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

Solve the following initial-boundary-value problem:

 

                  ut  =  5 uxx         0  <  x  <  3π,     t  >   0

 

                  u(0,t)  =  u(3π,t)  =  0 ;   u(x,0)  =  f(x)

                                               ∞

 using the formula  u(x,t)  =  Σ bn exp[-k(nπ/L)2]t  sin (nπx/L), where  bn are

                                             n=1

 suitable constants.

 

a.       f(x)  =  sin x  +  10 sin(4x/3)  -  sin 2x

 

                        ∞

b.      f(x)  =  Σ (100/m2) sin mx

                       m=1

                                          

Answers:  a.  u(x,t)  =  e-5t sin x  +  10 e(-80.9)t sin (4x/3)  -  e(- 20)t sin 2x    

 

                                       ∞

b.                  u(x,t)  =  Σ (100/m2) exp( -5m2t) sin mx     

                                      m=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

Solve the following initial-boundary-value problem:

 

                  utt  =  100 uxx         0  <  x  <  5,      t  >   0

 

                  u(0,t)  =  u(5,t)  =  0 ;   u(x,0)  =  f(x),   ut (x,0)  =  g(x)

 

Answer:

                  ∞

   u(x,t)  =  Σ [ An cos(2nπt) + Bn sin (2nπt) ] sin(nπx/5)

                 n=1

                                 5              

   where   An  =  (2/5) ∫ f(x) sin (nπx/5)

                                0

 

                                   5

and         Bn  =  (1/5nπ) ∫ g(x) sin (nπx/5)

                                  0