More Integrals Involving Trigonometric Functions  (continued)

 

 

Example 4:    (continued)

 

        On each of these 2 integrals;  first,  I2a  =   ∫ sec3 x dx  

 

 I2a  =   ∫ sec3 x dx   =  sec x tan x - ∫ sec x tan2 x dx

 

    tan2 x  =  sec2x  -  1

 

 - ∫ sec x tan2 x dx  =  - ∫ sec x (sec2x  -  1) dx =  - ∫ sec3x  -  sec x) dx

 

 I2a  =   ∫ sec3 x dx   =  sec x tan x - ∫ sec3x dx + ∫ sec x) dx

 

          2∫ sec3 x dx   =  sec x tan x +  ∫ sec x) dx   or

 

      ∫ sec3 x dx   =  (sec x tan x)/2 +  (ln |sec x + tanx|)/2 + C

 

 

 

A similar strategy applies to  I2b  =   ∫ sec5 x dx  

 

In this case

 

                  u  =  sec3 x                      dv  =   sec2 x  dx

                du =  3 sec3 x tan x dx       v  =  tan x

 

So   ∫ sec5 x dx   =  sec3 x  tan x  -  3 ∫ sec3 x tan2 x dx  

 

Now  3 ∫ sec3 x tan2 x dx   =  3 ∫ sec5 x dx   - 3 ∫ sec3 x dx  

 

Or  ∫ sec5 x dx   =  sec3 x  tan x  - 3 ∫ sec5 x dx   + 3 ∫ sec3 x dx  

 

      4∫sec5 x dx   =  sec3 x  tan x  + 3 ∫sec3 x dx

 

   So     ∫ sec5 x dx   =  (sec3 x  tan x)/4  + (3/4) ∫ sec3 x dx

 

 

 

 


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